【正方行列について，右逆行列 ⇔ 左逆行列】
Theorem. 正方行列 A, B について，AB = E ⇒ BA = E
＜証明＞ |A|×|B| = |AB| = |E| = 1. ∴|A| ≠ 0. よって A は正則．
AB = E = AA-1. ∴A-1AB = A-1AA-1. ∴B = A-1.
よって，BA = A-1A = E. //
【ランナーの問題の解答】
＜問題＞ あるランナーが６ｋｍのコースを１８分で走った。このランナーは、コースのある連続する１ｋｍの区間をちょうど３分で走りぬいたことを示しなさい。
＜Sol＞ x km（0≦x≦5）から x+1 km までを f(x)分とする。y = f(x) は [0, 5] で連続である。
どの連続する１ｋｍも３分で走らなかったと仮定する。
18 = f(0) + f(1) + . . . + f(5) ゆえ、f(0) から f(5) の内に３未満のと３より大きいのがあることになる。
よって中間値の定理よりある c が存在して f(c) = 3．
これは c km から c+1 km をちょうど３分を意味し不合理。 //
この問題は直感的には明らかであるが「 x km（0≦x≦5）から x+1 km までを f(x)分とする 」と関数 f(x) を定義することによって数学的に明快に説明できるようになったワケである。
こういう漠然とした問題も正確に定式化して説明できるようにすることは重要。
【Taylor 展開の直感的説明】
開区間 I = (a-δ, a+δ) で C∞ クラス（つまり何回でも微分できる）の関数 f(x) を n 次多項式で近似して n→∞ とする。
[方法１]
I 内の b について f(b) = f(a) と推測して近似したときこれを 第0次近似 とよぶ。
次に [a, b] で f'(x) が一定でその値を c と推測してみると c = f'(a) で
f(x) = ∫c dx = cx + d = f'(a)x + d
特に
f(b) = f'(a)b + d , f(a) = f'(a)a + d
∴ f(b) - f(a) = f'(a)(b - a)
よって f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) となりこれを 第1次近似 とよぶ。
次に [a, b] で f''(x) が一定でその値を c と推測してみると c = f''(a) で
f(b) = f(a) + (f(b) - f(a))
= f(a) + ∫ab f'(x) dx
= f(a) + ∫ab (f'(a) + f''(a)(x - a)) dx
= f(a) + f'(a)(b - a) + (f''(a)/2)(b - a)2
となり f(b) = f(a) + f'(a)(b - a) + (f''(a)/2)(b - a)2 を 第2次近似 とよぶ。
以下繰り返して b を x として x=a でのテーラー展開を得る。
[方法２]
f(x) と第 n 階までの a での微分係数が一致するような n 次多項式を p(x) とする。
p(x) = a0 + a1(x - a) + . . . + an(x - a)n
として良い。（∵ p(x) を x - a で割ったときの商を q1(x) 余りを a0 として p(x) = a0 + q1(x)(x - a) で、q1(x) を x - a で割って・・・というようにしていけばわかる。もしくは右辺を後ろの項から前の項のほうに見ていけばわかる.）
f(a) = p(a) = a0
f'(a) = p'(a) = a1
f''(a) = p''(a) = 2a2 = 2！a2
f'''(a) = p'''(a) = 3！a3
. . . . . .
f(n)(a) = p(n)(a) = n！an
よって ak = f(k)(a) / k！ （ k = 0, 1, . . . , n ） となり p(x) が決定できたので n→∞ として x=a でのテーラー展開を得る。 //
【微積分の基本定理について】
テキストでは定理4.5 を基本定理とよんでいるが定理4.6 もしくは定理4.8 を基本定理とよぶのが普通である。
定理4.8 は
(d/dx)∫ax f(t)dt = lim凅→0 ((∫ax+凅 f(t)dt -∫ax f(t)dt)/凅)
= lim凅→0 (∫xx+凅 f(t)dt/凅)
で ∫xx+凅 f(t)dt は 凅 が 0 に近づくにつれてタテが f(x) ヨコが 凅 の長方形の面積 f(x)凅 で近似されることから直感的にはあきらかである。
厳密には区間 [x, x+凅] における最大値 M と最小値 m を使ってハサミ打ちで示すことができる。
《練習問題》 定理4.8 から定理4.6 を導け。
【（実数係数の多項式）P(x) が高々２次の多項式の積に因数分解される理由】
α=p+qi が P(x)=0 の解ならその共役 α-=p-qi も解である（なぜ？）から
因数定理により
(x-α)(x-α-) = (x-(p+qi))(x-(p-qi))
= ((x-p)-qi)((x-p)+qi)
= (x-p)2+q2
を因数として持つことになる。 //
【sin x, cos x の t = tan(x/2) の有理関数による表示について】
講義では２倍角の公式を使って導いたが図の直線と単位円の交点 P の x 座標が cos x, y 座標が sin x となることからも導ける。【公式 ∫f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| について】
この公式は対数微分の公式 (log|f(x)|)' = f'(x)/f(x) より明らかですが t = f(x) と変数変換して置換積分しても容易に得られます。
講義では分母が２次で分子が１次の有理関数の積分で使ったと思いますが例題 4.12（p.120）なんかでもこれを使うと早いです。
【円錐の側面積について】
回転体の表面積（p.143）のところの（直）円錐台の側面積の公式を出すのには次の公式を使うと良い。
《公式》 底面の円の半径 r ，母線の長さ l の円錐の側面積 S は πrl.
＜証明＞ 展開図で考えると S = πl2 × 2πr/2πl = πrl. //
