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圏論（Category Theory）
序
圏
関手
自然変換
随伴関手
表現可能性
参考書
[ 序 ]
圏の理論は数学の理論的な構造を明確にするのに役立つ。
以下、圏論についてまとめることにする。
[ 圏 ]
「対象」とよばれるモノ（ = 数学的な対象 ）のクラスと対象 X から Yへの
「射（morphism）」とよばれる要素からなる集合 Hom(X, Y) が指定されていて、f ∈ Hom(X, Y)
と g ∈ Hom(Y, Z) に対してはその「合成」とよばれる射 gf が定められていて、以下の３条件を
満たしているときこれらの総合概念 C を 圏（category）とよぶ。
（Cat 1） 射の合成は結合法則 h(gf) = (hg)f をみたす.
（Cat 2） 任意の対象 X に対して ∃ε∈Hom(X, X) ∀f∈Hom(X, Y)∀g∈ Hom(Z, X), fε=f, εg=g
（Cat 3） 対象のペア (X, Y), (X', Y') が異なる ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(X', Y') = φ
例
集合の圏 (Set) 集合を対象、集合間の写像を射、射の合成は写像としての合成
位相空間の圏 (Top) 位相空間を対象、連続写像を射、射の合成は写像としての合成
群の圏 (Group) 群を対象、群準同型を射、射の合成は写像としての合成
アーベル群の圏 (Ab) アーベル群を対象、群準同型を射、射の合成は写像としての合成
環の圏 (Ring) 環を対象、環準同型を射、射の合成は写像としての合成
R 加群の圏 (R-mod) R 加群を対象、R 準同型を射、射の合成は写像としての合成
これらの圏では射が写像になっているが、射が写像でない圏も存在する。
＜注＞ 以下では Hom(X, Y) が「集合」という条件にはあまりこだわらないことにする。
いろいろな基礎論的な問題はしばらく保留にしておく。
圏 C の対象の全体を Ob(C), 射の全体を Mor(C) と書く。
(Cat1), (Cat2) により Hom(X, X) は合成を算法として単位元をもつ半群を成し、εは一意的に定まる。
εを 恒等射 とよび 1X もしくは idX で表示する。
X∈Ob(C) を X∈C と略記することもある。また、Hom(X, Y) を C を明記して HomC(X, Y)
と書くこともある。f∈Hom(X, Y) であることを f：X → Y とも書く。
Ob(D) = Ob(C) で任意の対象 X, Y に対して HomD(X,Y) = HomC(Y,X),
射 f, g の D での合成 fg が C での合成 gf であるとき、圏 D を 圏 C の 双対圏
とよび Co もしくは Cop , C* で表示する。
対象と射についての命題に対して射の向きを反転させて得られる命題は 双対命題 とよばれるが
C での双対命題は Co での元の命題と一致する。
射 f：X → Y は適当な射 g：Y → X があって fg = 1Y, gf = 1X となるとき 同形射
または 同形 とよばれる。 g は f に対して一意的で f-1 で表示する。
定理
（１） 同形射 f に対して (f-1)-1 = f
（２） f：X → Y , g：Y → Z が同形射 ⇒ gf：X → Z も同形射
同形射 f：X → Y が存在するとき X と Y は 同形 とよび X 〜 Y と書く。
圏 C における関係 〜 は同値関係である。
A, B ∈ C に対して、射 f：A → B が 単射（monic, monomorphism）であるというのを、
任意の D ∈ C と g1, g2∈Hom(D, A) に対して
fg1 = fg2 ⇔ g1 = g2
が成り立つときとする（左簡約可能性）。双対的に 全射（epic, epimorphism）が定義される。
全射かつ単射な射を 全単射 とよぶ。
定理
（１） 同形射 ⇒ 全単射
（２） f：A → B , g：B → C のとき、f も g も単射 ⇒ gf も単射.
逆に、 gf が単射 ⇒ f は単射. 双対として、 gf が全射 ⇒ g は全射.
圏 D は Ob(D)⊂Ob(C) で、任意の X, Y ∈ D について HomD(X,Y)⊂HomC(X,Y)
であり、D での射の合成が C での射の合成と一致しているとき C の 部分圏（subcategory）
とよばれる。
特に任意の X, Y ∈ D について HomD(X,Y) = HomC(X,Y) であるときには
充満部分圏（full subcategory）という。たとえば (Ab) は (Group) の充満部分圏であるが、
(Set) の充満部分圏ではない。
圏 B と C の 積（product）D = B×C は
Ob(D) = Ob(B)×Ob(C)
HomD((B1, C1), (B2, C2)) = HomB(B1, B2)×HomC(C1, C2)
として自然に定まる圏とする。
[ 関手 ]
圏 C の対象 X に圏 D の対象 F(X), 圏 C の射 f：X → Y に圏 D の射 F(f)：F(X) → F(Y)
を対応させる（クラス間の）写像 F が
(F1) F(gf) = F(gf)
(F2) F(1X) = 1F(X)
を満たしているとき F を C から D への 共変関手（covariant functor）
もしくは単に 関手 とよび F：C → D と書く。
C から D への関手の全体を Hom(C, D) で表す。
共変関手の双対として 反変関手（contravariant functor）が定義される。
＜注＞ 共変関手と反変関手を総称して「関手」とよぶひともいる。
共変（resp. 反変）関手 F：C → D は任意の X, Y ∈ C に対して
Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)), f ├→ F(f) が単射（resp. Hom(X, Y) → Hom(F(Y), F(X)),
f ├→ F(f) が単射）であるとき 忠実（faithful）とよばれる。
忠実な関手 F：C → D は Ob(C) に制限して考えたとき単射となっていれば
C の D への 埋め込み（embedding）とよばれ C は D の部分圏とみなされる。
[ 自然変換 ]
関手 F, G ∈ Hom(C, D) に対して、F から G への 射 もしくは 自然変換 とは、各 X∈C に
D の射 φ(X)：F(X) → G(X) を対応させる写像 τ で C のかってな射 f：X → Y に対して
図式
τ(X)
F(X) ―――→ G(X)
｜ ｜
F(f)｜ ｜G(f)
↓ ↓
F(Y) ―――→ G(Y)
τ(Y)
を可換にするもので τ：F → G と書く。 F から G への自然変換の全体は Nat(F, G) で表示する。
圏 B, C に対して、B から C への関手を対象、その間の自然変換を射とすることで
B から C への 関手の圏（functor category）CB が定義される。CB は [B, C] とも書く。
自然変換 τ が任意の X∈C について τ(X) が同形射のとき 自然同値 とよび
τ：F 〜 G で表示する。
圏 C に対して恒等的な関手は 恒等関手 とよび IC と書く。
圏 C, D に対して、関手 F：C → D, G：D → C が存在して
GF 〜 IC , FG 〜 ID
となるとき、C と D は互いに 同値な圏 という。
[ 随伴関手 ]
F：C → D , G：D → C を関手とする。各 X∈C と P∈D に対して
全単射 θX, P：HomC(X, G(P)) → HomD(F(X), P) が対応させられていて
C の射 Y → X と D の射 P → Q から自然に定まる図式
θX,P
HomC(X, G(P)) ―――→ HomD(F(X), P)
｜ ｜
｜ ｜
↓ ↓
HomC(Y, G(Q)) ―――→ HomD(F(Y), Q)
θY,Q
が可換になるとき、F を G の 左随伴関手（left adjoint functor）, G を F の 右随伴関手 とよぶ。
これは C×D から (Set) への関手として HomD(F(X), P) と HomC(X, G(P)) が同形
であることを意味している。
[ 表現可能性 ]
A を 圏 C の対象としたとき、圏 C から (Set) への関手 FA が
FA(B) = Hom(A, B) , FA(f) = f#
として自然に定義される。 但し
f：B1 → B2 に対して f#(g) = fg （ g ∈ Hom(A, B1) ）
である。
圏 C から (Set) への関手 F はある A∈C により F = FA となるとき
表現可能関手（representable functor）とよばれる。
定理（米田の補題） 圏 C のかってな対象 A に対して、C から (Set) への関手 G は自然な全単射
Nat(FA, G) → G(A) , τ├→ τA(1A)
を導く。
＜証明＞ X ∈ G(A) に対して
τB(g) = G(g)(X) （ g：A →B ）
とする。このときかってな射 h：B1 → B2 （ B1, B2 ∈ Ob C ） に対して
h#
Hom(A, B1) ―――→ Hom(A, B2)
｜ ｜
τB1｜ ｜τB2
↓ ↓
G(B1) ――――――→ G(B2)
G(h)
が可換であることから τB により自然変換 τ：FA → G がえられることがわかる。
g：A → B に対して
g#
Hom(A, A) ―――→ Hom(A, B)
｜ ｜
τA｜ ｜τB
↓ ↓
G(A) ―――――→ G(B)
G(g)
が可換なことから
τB(g) = τB(g#(1A))
= (τBg#)(1A)
= (G(g)τA)(1A)
で、τ は τA(1A) から一意に定まる。 //
《 参考書 》
[1] 河田敬義 , ホモロジー代数U , 岩波講座 基礎数学 , 岩波書店 , 1977
[2] , , ,
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