代数幾何学（Algebraic Geometry）
序
アフィン多様体
射影多様体
平面代数曲線
層
一般多様体
スキーム
参考書
[ 序 ]
代数幾何学 とは 代数的な対象についての幾何学 であり、狭義には連立方程式
f1(X1,X2, ... ,Xn) = f2(X1,X2, ... ,Xn) = . . . = fm(X1,X2, ... ,Xn) = 0
の解（ = 共通零点）全体の集合になり得る集合（ = 代数的集合）を研究する分野である。
できるだけ明快にその概要を記述する。
[ アフィン多様体 ]
以下、環としては乗法単位元をもち可換なもののみを考える。
環準同型は単位元を単位元にうつすものとする。
K は２元以上からなるかってな体とする。（ 0≠1 ）
ベクトル空間 Kn のベクトル (a1,a2, ... ,an) をKn の点 P と考えたとき、
点 P の全体を K 上のアフィン n 空間（affine n-space）とよび、An(K) もしくは単に An
とかく。（あとで出てくる 射影空間 を意識しているのである。また距離は通常考慮しないのも特徴。）
A1 をアフィン直線、A2 をアフィン平面 という。
An(K) は Kn と書いてもとりあえず不都合は生じない。
多項式 F ∈ K[X1, ... ,Xn] に対して F(P) = F(a1,a2, ... ,an) = 0 のとき P は F の零点（zero）
であるという。
F が定数でないとき F の零点の集合を 超曲面（hypersurface） とよび V(F) で表示する。
アフィン平面における超曲面を アフィン平面曲線。
次数 1 の F により V(F) と表せる An(K) の部分集合は 超平面 とよばれる。
n = 1，2，3 のとき 一点、直線、平面。
これから An(K) と K[X1, ... ,Xn] との間に成立する基本的な対応関係を記述する。
K[X1, ... ,Xn] の部分集合 S に対して V(S) を
V(S) = { P∈An | F(P) = 0 for all F∈S }
と定義する。 V( { F1 , ... , Fr } ) は通常 V( F1 , ... , Fr ) とかく。
V(S) のカタチで書ける An の部分集合を （アフィン）代数的集合 とよぶ。
S で生成されるイデアル (S) を I とすると V(S) = V(I) となっていることはあきらかである。
よって、ヒルベルトの基底定理 （環 R がネーター環 ⇒ 多項式環 R[X] もネーター環、
という定理） により、代数的集合は有限個の多項式の共通零点全体の集合として書ける
ということになる。 （∵ K のイデアルは (0) と (1) だから K はネーターで、
基底定理により K[X1, ... ,Xn] もネーター）
逆に、An(K) の部分集合 X に対して X の イデアル I(X) を
I(X) = { F∈K[X1, ... ,Xn] | F(P) = 0 for all P∈X }
と定義する。これが K[X1, ... ,Xn] のイデアルであることはあきらかである。
● I(∪Wi) = ∩I(Wi)
● I(V(I(X))) = I(X) ，V(I(V(S))) = V(S)
（∵） V(I(X)) ⊃ X より I(V(I(X))) ⊂ I(X)
一方 I(V(S)) ⊃ S の S として I(X) とすれば I(V(I(X))) ⊃ I(X)．
∴ I(V(I(X))) = I(X)．
V(I(V(S))) = V(S) も同様に示される。 //
よって An(K) の代数的集合の全体を V，代数的集合のイデアルの全体を I
と表記すると
V ←→ I
なる包含関係を反転させる一対一対応が I と V であたえられることがわかる。
そこで代数的集合のイデアルは 定義イデアル ともよぶことにし、この対応は 基本対応 とよぶ。
「I は環論的にはどんな集合？」 という自然な疑問が生じる。
以下 体 K は代数的閉体とする。
定理（ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）） I(V(a)) = Rad(a).
系 F，F1，．．．，Fl ∈ K[X1, ... ,Xn] について、F が F1(P) = . . . = Fl(P) = 0
なる任意の点 P で 0 になるならある自然数 m が存在して
Fm = A1F1 + ... + AlFl， Ai ∈ K[X1, ... ,Xn] と表示できる。
定理 代数的集合 X に対応するイデアル I(X) は根基イデアルである。
逆に、かってな根基イデアル a に対して a = I(X) となるような
代数的集合 X が一意的に存在する。
（∵） 代数的集合 X に対応するイデアル I(X) が根基イデアルであることは
F(P)n = 0 ならば F(P) = 0 ということからあきらかである。
後半の存在性は零点定理からいえる。一意性は済んでいる。 //
次の公式は容易に確かめられる。
（１） {Iα} がイデアルの族 ⇒ V(∪α Iα) = ∩α V(Iα)
（２） 多項式 F，G に対して V(FG) = V(F) ∪ V(G)
イデアル I，J に対して V(IJ) = V(I ∩ J) = V(I) ∪ V(J)
（３） V(0) = An ， V(1) = φ
よって、代数的集合の全体 V を閉集合系とすることで An(K) は位相空間になる。
この位相を ザリスキー位相（Zariski topology） とよぶ。（ハウスドルフでないがとても重要。）
P = (a1, ... ,an) ∈ An(K) に対して V(X1 - a1, ... ,Xn - an) = {P}.
したがって一点は代数的集合、で上記（２）により有限部分集合も代数的集合である。
代数的集合 X は X と異なる２つの代数的集合の合併として表せるとき 可約（reducible）
とよぶ。 それら２つの代数的集合は 排他的 、つまりお互いに包含関係がないことに注意。
可約でなくてしかも空でないとき 既約 とよぶ。
代数的集合 X に対して、 X は既約 ⇔ I(X) は素イデアル．
既約なアフィン代数的集合を アフィン代数多様体(affine algebraic variety) または アフィン多様体 という。
＜注＞ アフィン代数的集合のことを（アフィン）代数多様体とよぶひともいる。
V や V は variety の頭文字に由来し、Z や Z を使うひとも多い。
素イデアルは根基イデアルなので、上記の命題より、対応V ←→ I は
アフィン多様体全体と素イデアル全体の間の対応を誘導する。
一点には極大イデアルが対応する（ヒルベルトの弱零点定理）。
既約多項式 F に対して (F) は素イデアルだから V(F) は既約、すなわちアフィン多様体である。
定理 An(K) 内の代数的集合 X に対してアフィン多様体 X1，．．．，Xm で
X = X1∪ . . . ∪Xm ，i≠j の Xi と Xj の間に包含関係はない、
となるようなのが一意的に存在する。（既約分解定理）
＜証明＞ 多項式環 K[X1, ... ,Xn] のネーター性と基本対応により
代数的集合のかってな空でない集まりにはかならず極小元が存在する。
よって集合 E = { X ⊂ An(K)| X は有限個の多様体の和として表せない代数的集合 }
が空でないとすると極小元をもちそのうちのひとつを M とする。
E の定義から M はアフィン多様体ではないから可約で M = M1 ∪ M2,
Mi は M の真部分代数的集合, と書ける。
Mi は E に属さないから有限個のアフィン多様体の和として書けるので
M も有限個のアフィン多様体の和として書けることになり矛盾する。
よって E = φ で前半がいえたことになる。
後半もそれほど困難なく示される。 //
この定理により存在が保証された各 Xi を X の 既約成分 という。
系 K[X1, ... ,Xn] の根基イデアルはいくつかの素イデアルの交わりで、それらの間に
包含関係がないならばそれらの素イデアルの集合は一意的に決まる。
ザリスキー位相を入れたアフィン空間 An(K) は ネーター空間（noetherian space）、
つまり開集合系が極大条件をみたす位相空間、となっている。
定理 ネーター空間については次が成り立つ。
（１） ネーター空間である ⇔ 開集合がコンパクト
（２） ネーター空間の部分空間もネーター
（３） 有限個のネーター空間の（合併による）和空間もネーター
（４） ネーター空間の連続写像による像もネーター
２つの相異なる閉集合の合併とはならない位相空間を 既約 とよぶ。 既約 ⇒ 連結 である。
代数的集合の既約性はザリスキー位相のもとでの既約性に合致している。
先の既約分解定理は次のように一般化される。
定理 ネーター空間 E の閉集合 X に対して既約な閉集合 X1，．．．，Xm で
X = X1∪ . . . ∪Xm ，i≠j の Xi と Xj の間に包含関係はない、
となるようなのが一意的に存在する。（位相的既約分解定理）
この定理によりネーター空間の既約成分を先と同様に定義できることになる。
定理 既約性に関して次が成り立つ。
（１） 空でない位相空間 E に対してつぎは同値。
（α） E は既約
（β） E の２つの空でない開集合は交わる
（γ） E の空でない開集合は E で稠密である
（２） E の部分空間 S に対して、 S が既約 ⇔ S の閉包 S- が既約
（３） 既約空間の連続写像による像も既約
I(V(S)) = I(V((S))) = Rad((S)) であるが
An(K) の部分集合 X に対しては V(I(X)) = X- となっている。
（∵） V(I(X)) ⊃ X の左辺は閉集合ゆえ V(I(X)) ⊃ X- である。
つぎに Y = V(a) を X を含むかってな閉集合とする。
X ⊂ Y より I(X) ⊃ I(Y) = I(V(a)) ⊃ a
V をかぶせて V(I(X)) ⊂ V(a) = Y
Y = X- として X- ⊂ V(I(X)) ⊂ X- ． ∴ V(I(X)) = X- ． //
以下 K は固定した代数的閉体（たとえば複素数体 C ）とする。
K を含む環 R，S に対して φ：R → S が準同型というときには
K の元 a に対しては φ(a) = a であることを要請する。
さて アフィン多様体 V ⊂ An(K) に対しては I(V) は素イデアルだから、剰余環
K[V] = K[X1, ... ,Xn]/I(V)
は 整域 となり、V の 座標環（coordinate ring） という。 Γ(V) とも表記する。
座標環は自然に（多項式を写像と見た）多項式関数の全体 P(V,K) と考えられる。
整域 K[V] の商体を K(V) と書き V の 関数体（function field） といい、
この要素を V 上の 有理関数（rational function） とよぶ。
K(V) の K 上の超越次数を V の 次元（dimension）という。（ 直感的には K(V) 上
独立に動き得るパラメーターの個数 ）
１次元アフィン多様体を アフィン代数曲線（affine algebraic curve）という。
f ∈ K(V)，P ∈ V ，に対して、ある g，h ∈ K[V]，h(P)≠0，により f = g/h と表せるとき
f は P において定義される という。
P ∈ V のとき P において定義される有理関数の全体を
OP(V)
と書く。 これは環になり P における V の 局所環（local ring） という。OP とも書く。
K ⊂ K[V] ⊂ OP(V) ⊂ K(V) （ for all P ∈ V ）
となっているがさらに
∩P∈V OP(V) = K[V]
ともなっている。（確かめよ）
OP(V) はネーター整域である。
（∵） 整域であることは K(V) が体であることから従う。
a を OP(V) のイデアルとする。
K[V] がネーター整域であることから a ∩ K[V] は有限個の元 f1, ... ,fl で生成される。
f ∈ a とする。a，b ∈ K[V]， b(P) ≠ 0， f = a/b とすると bf = a ∈ a ∩ K[V]．
∴ bf = Σ aifi ∴ f = Σ (ai/b)fi． よって a は有限生成。 //
アフィン多様体の局所的な性質（各点の近傍における性質）はもちろん局所環に反映される。
V の点で f が定義されない点は f の 極点（pole） とよぶ。
f の極点全体は V 内の代数的集合となっている。
f ∈ OP(V) のとき 値 f(P) を
f(P) = a(P)/b(P) （ f = a/b，b(P)≠0 ）
として定義する。（この値が f の表示によらないことは容易にわかる。）
写像 π：OP(V) → K を π(f) = f(P) で定めると π は全射準同型で その核は
MP(V) = { f∈OP(V) | f(P) = 0 }
である。
よって MP(V) は OP(V) の極大イデアルで OP(V)/MP(V) 〜 K となっている。
f ∈ OP(V) が OP(V) 内で可逆な条件は f(P)≠0 だから MP(V) は OP(V)
の非可逆元（non-unit）の全体である。
よって局所環は可換環論の意味での局所環となっていることがわかる。
次にアフィン多様体どうしを比較するためにアフィン多様体間の写像もしくは部分的な写像を考える。
V ⊂ Kn, W ⊂ Km を２つのアフィン多様体とする。
写像 φ：V → W が 多項式写像（polynomial map）であるということを、
m コの多項式 F1, . . . ,Fm ∈ K[X1, ... ,Xn] によって
φ(P) = (F1(P), ... ,Fm(P)), P ∈ V
と表せることで定義する。
多項式写像 φ：V → W に対して、多項式写像 ψ：W → V で、ψφ=idV, φψ=idW
となるのが存在するとき φは 同型写像（isomorphism） とよばれる。
f ∈ K[W] に対して
φ*(f) = fφ
と定めると φ*(f) ∈ K[V] で φ*：K[W] → K[V] は環準同型である。
● (idV)* = idK[V] , (ψφ)* = φ*ψ*
以上より φ：V → W が同型写像 ⇒ φ*：K[W] → K[V] は環同型写像 である。
定理 V ⊂ Kn, W ⊂ Km をアフィン多様体、φ：V → W を多項式写像とするとき、次が成り立つ。
（１） φ はザリスキー位相のもとで連続.
（２） P ∈ V とするとき、環準同型 φ*：K[W] → K[V] は一意的に
環準同型 (φ*)P：Oφ(P)(W) → OP(V) に拡張される。
さらに、 (φ*)P(Mφ(P)(W)) ⊂ MP(V) となる。
（３） Ker φ* = {0} ⇔ (φ(V))- = W.
定理 アフィン多様体 V ⊂ Kn, W ⊂ Km に対して環準同型 α：K[W] → K[V] が与えられたとき、
∃！多項式写像 φ：V → W , α = φ*. （ ∃！は一意的に存在するという意味の記号. ）
系 アフィン多様体 V, W に対して、 V 〜 W ⇔ K[V] 〜 K[W]
それでは K(V) 〜 K(W) となるのはどういうときか という問題が生じるが
それに答えるのは 双有理同値 という概念である。
アフィン多様体 V の空でない開集合 U に対して関数体 K(V) の部分環 Γ(U) を
Γ(U) = ∩P∈U OP(V)
で定義する。OV(U) とも書く。 U = V のときには座標環 Γ(V) に一致する。
Γ(U) の要素を U での 正則関数（regular function）とよぶ。
V ⊂ Kn, W ⊂ Km をアフィン多様体、U ⊂ V を開集合、φ を U → W なる写像とする。
φ が次の２条件を満たしているとき U での 正則写像 とよぶ。
（@） ザリスキー位相のもとで φ は連続
（A） W の開集合 U' に対して、 f ∈ Γ(U') ⇒ fφ ∈ Γ(φ-1(U'))
このような V, U に対して、f が U での正則関数 ⇔ f は U から K への正則写像、となる。
また、V での正則写像は多項式写像と一致する。
V ⊂ Kn, W ⊂ Km をアフィン多様体、Ui （ i = 1, 2 ）を空でない V の開集合とする。
U1 ∩ U2 ≠φ で σ(U1 ∩ U2) = V である。
２つの正則写像 φi：Ui → W に対して関係 〜 を
φ1 〜 φ2 ⇔ φ1(P) = φ2(P) for all P ∈ U1 ∩ U2
として定義するとこれは同値関係になる。（確かめよ）
この同値関係による正則写像の同値類を V から W への 有理写像（rational map）とよぶ。
有理写像 Φ の定義域 dom Φ を ∪{ Uα| 正則写像 φα：Uα → W は Φ に属する }
で定義すると写像 φ：dom Φ → W で φ|Uα = φα であるのが矛盾なく定まる。
φも正則写像でφと同値な正則写像はいずれもφの制限である。
このようにして dom Φ から W への有理写像というのを正則写像 φ：dom Φ → W で
それ以上に正則には拡張できないものとして定義できる。
このような意味合いで有理写像φ：V → W と書くことにする。
＜注＞ 部分的な写像なので φ：V −→ W というように分断された矢印が使われることも多い。
W = K のときは V から K への有理写像に属するどの正則写像も同じ V 上の有理関数を定め
逆に有理関数は有理写像を定めるから、有理写像は有理関数の拡張といえる。
V, W をアフィン多様体、U, U' をそれぞれの開集合とする。 正則写像 φ：U → U' は
逆写像も正則写像であるとき 正則同型（写像）とよぶ。
正則同型φ：U → U' が存在するとき U と U' は 双正則同値 とよび U ≡ U' と書く。
正則写像の類としての有理写像 Φ：V → W は V, W のそれぞれの開集合 U, U' とΦに属する
正則写像 φ：U → W でφが U と U' の正則同型となっているのが存在するとき
双有理的（birational）という。双有理写像 Φ：V → W が存在するとき V と W は
双有理同値 とよび V 〜 W と書く。
V での正則写像は多項式写像に一致するから V ≡ W は V 〜 W ということで、上記の系により
K[V] 〜 K[W] と同値である。
定理 アフィン多様体 V, W に対して、 V 〜 W ⇔ K(V) 〜 K(W)
アフィン空間に双有理同値なアフィン多様体を （アフィン）有理多様体 とよぶ。
[ 射影多様体 ]
引き続き K は代数的閉体とする。
An+1(K) における原点を通る直線全体の集合を K 上の 射影 n 空間（projective n-space）
または n 次元射影空間 とよび Pn(K) もしくは単に Pn とかく。
An+1 - {(0, ... ,0)} の２点 x = (x0, ... ,xn), y = (y0, ... ,yn) が同値であるというのを
座標の連比が等しいときとすれば、Pn は An+1 - {(0, ... ,0)} をその同値関係
で類別したときの同値類全体の集合となる。P1 を 射影直線、 P2 を 射影平面、 とよぶ。
[補足] 射影平面 P2(R)
原点 O とそれを通らない平面 π が与えられたとすると π の点 P には原点を通る
直線 O P が対応し、この対応で π の直線 L の点には O と L を含む平面内の π と
平行でない原点を通る直線が対応する。
そこで L と平行な原点を通る直線に対応する仮想的な点として L の「無限遠点」
を考えてみる。
π の各直線の無限遠点の全体は直線を成すと考えられることになり π の無限遠直線
とよぶ。もちろん無限遠直線にも無限遠点を考える。
このようにして得られるのが素朴な射影平面であり、それを座標を使って表現したもの
が P2(R) に他ならない。
Pn の要素 P を 点 とよび、P のひとつの要素 x = (x0, ... ,xn) を
P の 斉次座標（homogeneous coordinates）という。 P = (x0, ... ,xn) と書いてもよいことにする。
Ui = { (x0, ... ,xn)∈Pn| xi ≠ 0 } （ 0 ≦ i ≦ n ） とおく。
Ui に属する点 P は P = (x0,x1, ...,xi-1,1,xi+1, ...,xn) の形の斉次座標をちょうどひとつもつ。
(x0,x1, ...,xi-1,xi+1, ...,xn) を P の Ui に関する 非斉次座標（non-homogeneous coordinates）
とよぶ。
自然な全単射 φi：An → Ui , φi(a1, ... ,an) = (a1, ...,ai,1,ai+1,... ,an)
と Pn = ∪i=0n Ui とから Pn は (n+1) 個の An でカバーされていると考えられる。
Ui はいずれも対等であるが、習慣上 U0 を Pn の 有限部分、
H∞ = Pn - U0 を 無限遠超平面（hyperplane at infinity）とよぶ。
H∞ は点 (0,x1, ... ,xn) を Pn-1 の点 (x1, ... ,xn) と同一視することによって Pn-1 とみなせる。
Pn = U0 ∪ H∞ は射影空間をアフィン空間の「完備化」と見る立場を表す。
多項式 F ∈ K[X0,X1, ... ,Xn] に対して Pn の点 P のどの斉次座標を代入しても 0 になるとき
P は F の 零点（zero）であるといい、 F(P) = 0 と書く。
F = ΣFi （ Fi は i 次斉次多項式 ） とするとき、 F(P) = 0 ⇔ ∀i, Fi(P) = 0 である。
K[X0,X1, ... ,Xn] の部分集合 S に対して V(S) を
V(S) = { P∈Pn | F(P) = 0 for all F∈S }
と定義する。
V(S) のカタチで書ける Pn の部分集合を 射影代数的集合（projective algebraic set）
または単に（Pn の中の）代数的集合 とよぶ。
S は生成されるイデアル (S) で置き換えることができ、さらに (S) の有限基底の斉次成分で
置き換えられるから、V(S) は有限個の斉次式の共通零点となる。
アフィンのときと同様にして、Pn(K) には射影代数的集合の全体を閉集合系とする位相
が入り、やはり ザリスキー位相 とよぶ。
次に Pn(K) の部分集合 X に対して
I(X) = { F∈K[X0,X1, ... ,Xn] | F(P) = 0 for all P∈X }
として X の イデアル が定義される。
イデアル a ⊂ K[X0,X1, ... ,Xn] は F = ΣFi ∈ a （ Fi は i 次斉次式 ） であれば Fi ∈ a
となるとき 斉次イデアル とよばれる。
上記の命題から I(X) は斉次イデアルであることがわかる。
イデアル a ⊂ K[X0,X1, ... ,Xn] が斉次であることと有限個の斉次式で生成される
こととは同値である。
Pn(K) の射影代数的集合の全体を V，射影代数的集合のイデアルの全体を I とすると
アフィンのときと同様な 基本対応 が成立する。定義イデアル についても同様とする。
Pn(K) はネーター空間で、ネーター空間の一般論が適用できる。
とくに既約成分への一意分解が射影代数的集合に対しても成り立つ。
定理 斉次イデアル a に対して、
a が素イデアル ⇔ かってな斉次式 F, G に対して、FG ∈ a ならば F ∈ a または G ∈ a.
定理 射影代数的集合 X に対して、X が既約 ⇔ I(X) は素イデアル.
既約な射影代数的集合を 射影代数多様体、または 射影多様体、という。
定理（射影的零点定理） K[X0,X1, ... ,Xn] の斉次イデアル a に対して次が成り立つ。
（@） a0 を X0,X1, ... ,Xn で生成されるイデアルとするとき、 V(a) = φ ⇔ ∃自然数 N , a ⊃ a0N
（A） V(a) ≠ φ ⇒ I(V(a)) = Rad(a)
＜証明＞ あとまわし。 //
射影代数的集合 X に対応するイデアル I(X) は斉次根基イデアルであり a0 にはならない。
逆に、a を a0 とは異なる斉次根基イデアルとすると射影的零点定理により
a = I(V(a)) となり a は射影代数的集合 X = V(a) に対応する。
すなわち I は a0 とは異なる斉次根基イデアル全体の集合である。
a0 は 無縁イデアル（irrelevant ideal）とよばれる。
基本対応 V ←→ I は射影多様体全体と無縁でない斉次素イデアル全体との間の対応を誘導する。
F が既約斉次式であれば (F) は斉次素イデアルゆえ 射影超曲面 V(F) は射影多様体である。
射影多様体 Y の 次元 は空でないアフィン多様体 Y ∩ Ui をひとつとって
その次元として定義できる。１次元射影多様体を 射影代数曲線 という。
P2 の中で m 次の斉次多項式で定まる射影代数曲線を m 次の射影平面曲線 という。
射影多様体 V ⊂ Pn(K) に対して I(V) は素イデアルだから商環
Kh[V] = K[X0,X1, ... ,Xn]/I(V)
は整域で、V の 斉次座標環 とよばれる。 Γh(V) とも表記する。
一般に a が K[X0,X1, ... ,Xn] のイデアルであるとき商環 K[X0,X1, ... ,Xn]/a の元 f に対して
d 次斉次式 F ∈ K[X0,X1, ... ,Xn] があって f = F + a と表せるとき、
f は 次数 d = deg f の斉次の元 という。f≠0 であれば f の次数は代表 F によらずに一定に定まる。
K[X0,X1, ... ,Xn]/a の元 f は f = f0 + f1 + ... + fn （ fi は i 次の斉次の元 ） と一意的に表示される。
Kh[V] の商体 Kh(V) は V の 斉次関数体 とよばれる。
K(V) = { z∈Kh(V)| z = f/g （ f, g∈Kh[V], deg f = deg g ） }
とおくと K(V) の要素は自然に V 上の関数となる。
K(V) を V の 関数体 といい、その要素を V 上の 有理関数 とよぶ。
局所環 OP(V), 極点 もアフィンのときと同様にして定義される。
全単射 T：Pn(K) → Pn(K) は可逆な一次変換 Kn+1 → Kn+1 から自然に誘導されるとき
射影変換（projective transformation）とよばれる。多くの概念は射影変換に対して不変である。
次に（アフィン）代数的集合と射影代数的集合の相関について述べる。
f ∈ K[X1, ... ,Xn] , deg f = d , に対して d 次の斉次式 f♯ を
f♯(X0,X1, ... ,Xn) = X0df(X1/X0, ... ,Xn/X0)
で定義する。 逆に d 次斉次式 F ∈ K[X0,X1, ... ,Xn] に対して
F♭(X0,X1, ... ,Xn) = F(1,X1, ... ,Xn)
とおく。 X0r‖F （ F は丁度 X0r で割り切れる ）のとき F♭ は (d - r) 次の多項式となる。
f├→ f♯ を 斉次化、F├→ F♭ を 非斉次化 とよぶ。
● 次の公式群が成り立つ。
（@） (fg)♯ = f♯g♯
（A） (FG)♭ = F♭G♭
（B） f♯♭ = f
（C） X0r‖F ⇒ X0r F♭♯ = F
（D） X0deg f + deg g - deg(f + g) (f + g)♯ = X0deg g f♯ + X0deg f g♯
（E） (F + G)♭ = F♭ + G♭
代数的集合 X ⊂ Kn に対して I(X)♯ は { f♯| f∈I(X) } で生成される
K[X0,X1, ... ,Xn] の斉次イデアルとし、 X♯ = V(I(X)♯) とする。
逆に、射影代数的集合 X ⊂ Pn に対して I(X)♭ は { F♭| F∈I(X) } で生成される
K[X1, ... ,Xn] のイデアルとし、 X♭ = V(I(X)♭) とする。
V(Kn) で Kn の代数的集合全体、V(Pn) で Pn の射影代数的集合全体 を表すと
♯,♭ はそれぞれ 写像 V(Kn) → V(Pn), V(Pn) → V(Kn) を与えている。
定理 X, Y はアフィンまたは射影的な代数的集合とするとき、
（１） X ⊂ Kn ⇒ φ0(X) = X♯ ∩ U0
（２） X ⊂ Kn ⇒ X♯ = σ(φ0(X)) （ Pnでの閉包 ）
（３） X ⊂ Kn ⇒ X♯♭ = X
（４） X ⊂ Kn が既約 ⇒ X♯ も既約
（５） ♯ は既約分解を既約分解にうつす.
上記（４）によりアフィン多様体 V ⊂ Kn に対して V♯ ⊂ Pn は射影多様体で
関数体 K(V♯) も考えられるが 非斉次化 F├→ F♭ から自然に誘導される写像
♭：K(V♯) → K(V) は体同型写像となる。
また P ∈ V とすると埋め込み φ0：V → V♯ により V ⊂ V♯ と見ると
P ∈ V♯ となるから局所環 OP(V♯) も考えられるが ♭は
♭：OP(V♯) 〜 OP(V)
なる環同型を誘導する。
次に V ⊂ Pn を空でない射影多様体とする。
V = ∪(V ∩ Ui) ゆえあるひとつの Ui たとえば U0 に対して V ∩ U0 ≠ φ となる。
定理
（１） φ0 は 同型 V♭ 〜 V ∩ U0 を誘導する。
さらにザリスキー位相にかんして同相写像となる。
（２） V ∩ U0 ≠ φ ⇒ V♭♯ = V ．よって V♭ も既約。
V の点 P が 有限部分 U0 にあるとき（１）より P は V♭ の点と見ることができ
先に見たように OP(V♭) 〜 OP(V♭♯) で（２）を使うとけっきょく OP(V♭) 〜 OP(V) となる。
つまり V の一点 P における局所的な性質は P をアフィン多様体 V♭ の点と見て考えてもよいことになる。
（続く）
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